Operaciones con matrices

Determinante de una matriz 3x3: Método de Sarrus

Para calcular el determinante de una matriz 3x3 se utiliza la regla de Sarrus. Se duplican las dos primeras columnas a la derecha de la matriz y se realizan seis multiplicaciones diagonales: las tres diagonales de izquierda a derecha se suman y las tres de derecha a izquierda se restan.

Matriz adjunta

La matriz adjunta se calcula a partir de los menores complementarios de cada elemento:

1. Para cada elemento, se obtiene la submatriz eliminando su fila y su columna.
2. Se calcula el determinante de esa submatriz 2x2: det = (a×d) - (b×c)
3. Se aplica el signo correspondiente: si fila+columna es impar, se multiplica por -1.

Ejemplo para los elementos de la primera fila:

A₁₁ = (A₂₂×A₃₃) - (A₃₂×A₂₃)

A₁₂ = ((A₂₁×A₃₃) - (A₃₁×A₂₃)) × -1

Matriz inversa

La fórmula para obtener la matriz inversa es:

M⁻¹ = (1 / det(M)) × adj(M)ᵀ

Pasos:

1. Calcular el determinante de la matriz.
2. Obtener la matriz adjunta.
3. Calcular la traspuesta de la adjunta.
4. Multiplicar cada elemento por 1 / det(M).

Verificación con la matriz identidad

Para comprobar que la inversa es correcta, multiplicamos M × M⁻¹ y verificamos que el resultado es la matriz identidad I.

El cálculo de cada elemento se realiza como: (M₁₁×I₁₁) + (M₁₂×I₂₁) + (M₁₃×I₃₁)

Si M × M⁻¹ = I, la operación es correcta.